Phép chiếu trên một không gian vectơ V {\displaystyle V} là một toán tử tuyến tính tự đồng cấu P : V → V {\displaystyle P:V\to V} sao cho P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P} .

Khi V {\displaystyle V} được trang bị tích trong và là đầy đủ (chẳng hạn khi V {\displaystyle V} là không gian Hilbert), khái niệm trực giao có thể được sử dụng. Một phép chiếu P {\displaystyle P} trên một không gian Hilbert V {\displaystyle V} được gọi là phép chiếu trực giao nếu nó thỏa mãn điều kiện tự liên hợp ⟨ P x , y ⟩ = ⟨ x , P y ⟩ {\displaystyle \langle Px,y\rangle =\langle x,Py\rangle } với mọi x , y ∈ V {\displaystyle x,y\in V} .Phép chiếu trên một không gian Hilbert không phải là phép chiếu trực giao được gọi là phép chiếu xiên.

Ma trận chiếu

• Trong trường hợp hữu hạn chiều, một ma trận vuông P {\displaystyle P} được gọi là ma trận chiếu nếu nó bằng bình phương của nó, tức là nếu P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P} .[2]:p. 38
• Một ma trận vuông P {\displaystyle P} được gọi là ma trận chiếu trực giao nếu P 2 = P = P T {\displaystyle P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }} đối với một ma trận thực, và tương ứng P 2 = P = P H {\displaystyle P^{2}=P=P^{\mathrm {H} }} đối với một ma trận phức, trong đó P T {\displaystyle P^{\mathrm {T} }} ký hiệu cho chuyển vị của P {\displaystyle P} và P H {\displaystyle P^{\mathrm {H} }} ký hiệu cho chuyển vị Hermite của P {\displaystyle P} .[2]:p. 223
• Ma trận chiếu không là ma trận chiếu trực giao được gọi là ma trận chiếu xiên.

Các giá trị riêng của một ma trận chiếu phải bằng 0 hoặc 1.